3.4.59 \(\int \cot ^2(e+f x) (b \sec (e+f x))^m \, dx\) [359]

Optimal. Leaf size=59 \[ -\frac {\cos ^2(e+f x)^{\frac {1}{2} (-1+m)} \cot (e+f x) \, _2F_1\left (-\frac {1}{2},\frac {1}{2} (-1+m);\frac {1}{2};\sin ^2(e+f x)\right ) (b \sec (e+f x))^m}{f} \]

[Out]

-(cos(f*x+e)^2)^(-1/2+1/2*m)*cot(f*x+e)*hypergeom([-1/2, -1/2+1/2*m],[1/2],sin(f*x+e)^2)*(b*sec(f*x+e))^m/f

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]
time = 0.03, antiderivative size = 59, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 1, number of rules used = 1, integrand size = 19, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.053, Rules used = {2697} \begin {gather*} -\frac {\cot (e+f x) \cos ^2(e+f x)^{\frac {m-1}{2}} (b \sec (e+f x))^m \, _2F_1\left (-\frac {1}{2},\frac {m-1}{2};\frac {1}{2};\sin ^2(e+f x)\right )}{f} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cot[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

-(((Cos[e + f*x]^2)^((-1 + m)/2)*Cot[e + f*x]*Hypergeometric2F1[-1/2, (-1 + m)/2, 1/2, Sin[e + f*x]^2]*(b*Sec[
e + f*x])^m)/f)

Rule 2697

Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Sec[e + f
*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^(n + 1)*((Cos[e + f*x]^2)^((m + n + 1)/2)/(b*f*(n + 1)))*Hypergeometric2F1[(n + 1)/2,
(m + n + 1)/2, (n + 3)/2, Sin[e + f*x]^2], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[(n - 1)/2] &&  !In
tegerQ[m/2]

Rubi steps

\begin {align*} \int \cot ^2(e+f x) (b \sec (e+f x))^m \, dx &=-\frac {\cos ^2(e+f x)^{\frac {1}{2} (-1+m)} \cot (e+f x) \, _2F_1\left (-\frac {1}{2},\frac {1}{2} (-1+m);\frac {1}{2};\sin ^2(e+f x)\right ) (b \sec (e+f x))^m}{f}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C] Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 5 in optimal.
time = 21.60, size = 4872, normalized size = 82.58 \begin {gather*} \text {Result too large to show} \end {gather*}

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Cot[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(Cot[(e + f*x)/2]*Cot[e + f*x]^2*(b*Sec[e + f*x])^m*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^m*(-(AppellF1[-1/2, m, -
m, 1/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2)^m) + 3*(Sec[(e + f*x)/2]^2)
^m*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-4*AppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[(e + f*x)
/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + m)*AppellF1[3/2, m,
2 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + AppellF1[1/2, m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2
]/(3*AppellF1[1/2, m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*m*(AppellF1[3/2, m, 1 - m, 5/2, Ta
n[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + AppellF1[3/2, 1 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2
])*Tan[(e + f*x)/2]^2))))/(2*f*(-1/4*(Csc[(e + f*x)/2]^2*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^m*(-(AppellF1[-1/2,
m, -m, 1/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2)^m) + 3*(Sec[(e + f*x)/
2]^2)^m*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-4*AppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[(e +
f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + m)*AppellF1[3/
2, m, 2 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/
2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + AppellF1[1/2, m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)
/2]^2]/(3*AppellF1[1/2, m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*m*(AppellF1[3/2, m, 1 - m, 5/
2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + AppellF1[3/2, 1 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)
/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)))) + (Cot[(e + f*x)/2]*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^m*(-((Cos[e + f*x]*Sec[(e
+ f*x)/2]^2)^m*(-(m*AppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*
Tan[(e + f*x)/2]) - m*AppellF1[1/2, 1 + m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^
2*Tan[(e + f*x)/2])) - m*AppellF1[-1/2, m, -m, 1/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Cos[e + f*x]*Sec
[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + m)*(-(Sec[(e + f*x)/2]^2*Sin[e + f*x]) + Cos[e + f*x]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/
2]) + 3*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1 + m)*Tan[(e + f*x)/2]*((-4*AppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -T
an[(e + f*x)/2]^2]*Cos[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2
] + 2*((-1 + m)*AppellF1[3/2, m, 2 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + m*AppellF1[3/2, 1 + m,
1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + AppellF1[1/2, m, -m, 3/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]/(3*AppellF1[1/2, m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*m*
(AppellF1[3/2, m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + AppellF1[3/2, 1 + m, -m, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) + 3*m*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^m*Tan[(e + f*x)/2]^3*((-4*A
ppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, m, 1
- m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + m)*AppellF1[3/2, m, 2 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2
]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(
e + f*x)/2]^2) + AppellF1[1/2, m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]/(3*AppellF1[1/2, m, -m, 3/
2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*m*(AppellF1[3/2, m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e +
f*x)/2]^2] + AppellF1[3/2, 1 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) + 3*
(Sec[(e + f*x)/2]^2)^m*Tan[(e + f*x)/2]^2*((4*AppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/
2]^2]*Cos[(e + f*x)/2]*Sin[(e + f*x)/2])/(3*AppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]
^2] + 2*((-1 + m)*AppellF1[3/2, m, 2 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + m*AppellF1[3/2, 1 +
m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (4*Cos[(e + f*x)/2]^2*(-1/3*((1
- m)*AppellF1[3/2, m, 2 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2
]) + (m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e +
f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2, m, 1 - m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + m)*AppellF1[3
/2, m, 2 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + m*AppellF1[3/2, 1 + m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + ((m*AppellF1[3/2, m, 1 - m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(
e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + (m*AppellF1[3/2, 1 + m, -m, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -
Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3)/(3*AppellF1[1/2, m, -m, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -
Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*m*(AppellF1[3/2, m, 1 -...

________________________________________________________________________________________

Maple [F]
time = 0.10, size = 0, normalized size = 0.00 \[\int \left (\cot ^{2}\left (f x +e \right )\right ) \left (b \sec \left (f x +e \right )\right )^{m}\, dx\]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(f*x+e)^2*(b*sec(f*x+e))^m,x)

[Out]

int(cot(f*x+e)^2*(b*sec(f*x+e))^m,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Failed to integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)^2*(b*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e))^m*cot(f*x + e)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {could not integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)^2*(b*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((b*sec(f*x + e))^m*cot(f*x + e)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \left (b \sec {\left (e + f x \right )}\right )^{m} \cot ^{2}{\left (e + f x \right )}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)**2*(b*sec(f*x+e))**m,x)

[Out]

Integral((b*sec(e + f*x))**m*cot(e + f*x)**2, x)

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Giac [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {could not integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(f*x+e)^2*(b*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e))^m*cot(f*x + e)^2, x)

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Mupad [F]
time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.02 \begin {gather*} \int {\mathrm {cot}\left (e+f\,x\right )}^2\,{\left (\frac {b}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^m \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(e + f*x)^2*(b/cos(e + f*x))^m,x)

[Out]

int(cot(e + f*x)^2*(b/cos(e + f*x))^m, x)

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